Матрицы

Матричные вычисления

Maxima позволяет легко манипулировать матрицами. В следующем примере задаются две матрицы, которые затем складываются (+) и перемножаются (.):

(C1) A:matrix([1,2],[3,4]);
				    [ 1	 2 ]
(D1) 				    [ 	   ]
				    [ 3	 4 ]
(C2) B:matrix([1,1],[1,1]);
				    [ 1	 1 ]
(D2) 				    [ 	   ]
				    [ 1	 1 ]
(C3) A + B;
				    [ 2	 3 ]
(D3) 				    [ 	   ]
				    [ 4	 5 ]
(C4) A . B;
				    [ 3	 3 ]
(D4) 				    [ 	   ]
				    [ 7	 7 ]

Функция determinant вычисляет определитель матрицы.

(C5) determinant(A);
(D5) 				  - 2

(C6) determinant(matrix([a,b],[c,d]));
(D6) 				  a d - b c

Транспонирование матрицы осуществляется функцией transpose.

(C7) transpose(A);
			       [ 1  3 ]
(D7) 			       [      ]
			       [ 2  4 ]

Для получению обратной матрицы используется операция ^^-1 или функция invert.

(C8) A^^-1;
			[ - 2    1  ]
	                [           ]
(D8) 			[  3      1 ]
			[  -    - - ]
			[  2	  2 ]
(C9) invert(A);
                        [ - 2    1  ]
                        [           ]
(D9)                    [  3      1 ]
                        [  -    - - ]
                        [  2      2 ]

Как известно, каждый элемент b^ij обратной матрицы B = A ^-1 получается делением алгебраического дополнения A^ij соответствующего элемента исходной матрицы на ее определитель |A|. Для того чтобы вынести 1/|A| в качестве сомножителя применяется функция detout.

(C10) invert(A), detout;
			      [	 4   - 2 ]
			      [ 	 ]
			      [ - 3   1	 ]
(D10) 			    - ------------
				   2

Убедимся в правильности полученного результата, умножив A на обратную к ней матрицу:

(C11) A . d9;
			       [ 1  0 ]
(D11) 			       [      ]
			       [ 0  1 ]

Будьте внимательны: в результате выполнения операции ^-1 получится матрица, каждый элемент которой обратен элементу исходной, а не обратная матрица.

(C12) A^-1;
				    [	 1 ]
				    [ 1	 - ]
				    [	 2 ]
(D12) 				    [ 	   ]
				    [ 1	 1 ]
				    [ -	 - ]
				    [ 3	 4 ]

Использование матриц позволяет легко решать системы линейных уравнений с несколькими переменными. Пусть A - матрица коэффициентов системы, X - матрица неизвестных, B - матрица свободных членов системы. Тогда матрица X находится по формуле X = A ^-1 . B, где операция . означает матричное умножение.

Пример
Решим следующую систему уравнений матричным способом.

Сначала заполним соответствующие матрицы, а затем получим матрицу результатов:

(C14) A:matrix([1, 2, 1], [2, 1, 1], [1, 3, 1]);

			  [ 1  2  1 ]
			  [	    ]
(D14) 			  [ 2  1  1 ]
			  [	    ]
			  [ 1  3  1 ]

(C15) B:matrix([0, 1, 0]);
(D15) 			  [ 0  1  0 ]

(C16) (A^^-1).B;
			    [  1  ]
			    [	  ]
(D16) 			    [  0  ]
			    [	  ]
			    [ - 1 ]

Задания

Вычислите произведение матриц A.B и B.A, где
Найдите определители матриц C и D.
Для матрицы D найдите обратную, после чего проверьте, что в результате их произведения получается единичная матрица.
Решите следующую систему уравнений матричным способом