Редактирование: Математическая Логика, решение задач/variant 2004

Материал из eSyr's wiki.

Версия от 07:10, 22 января 2008; 77.87.207.130 (Обсуждение)

(разн.) ← Предыдущая | Текущая версия (разн.) | Следующая → (разн.)

ПРЕДУПРЕЖДЕНИЕ: Вы редактируете устаревшую версию данной страницы. После сохранения страницы будут потеряны изменения, сделанные в последующих версиях.

Внимание: Вы не представились системе. Ваш IP-адрес будет записан в историю изменений этой страницы.

== Построение предиката по утверждению ==

=== Условные обозначения ===
* почти все = все, кроме конечного числа;

==== Доступные предикаты ====
* R(x) — вещественное число;
* N(x) — натуральное число;
* S(y) — y — последовательность действительных чисел;
* E(x, n, y) — x — элемент y с номером n;
* A(p, y) — p — предельная точка последовательности y;
* M(x, y) — x — предел последовательности y;
* x &lt; y, x = y — сравнение и равенство.

=== Задача 1 ===
''Какова бы ни была последовательность действительных чисел и отрезок [a, b] действительных чисел, если бесконечно много элементов этой последовательности содержится в данном отрезке, то хотя бы одна предельная точка данной последовательности также сожержится в этом отрезке.''

&phi;1 = (R(a) &amp; R(b) &amp; (a &le; b))
 &phi;2 = &forall; n1 (N(n1) &amp; &exist; n2 (N(n2) &amp; (n2 &ge; n1) &amp; &exist; x1 (E(x1, n2, y) &amp; ((a &le; x1) &amp; (x1 &le; b))))
 &phi;3 = &exist; p (A(p, y) &amp; ((a &le; p) &amp; (p &le; b)))
 
 &forall; a &forall; b &forall; y (S(y) &amp; &phi;1 &amp; &phi;2 &amp; (S(y) &amp; &phi;1 &amp; &phi;2 &rarr; &phi;4))

=== Задача 2 ===
''Какова бы ни была последовательность действительных чисел, найдется отрезок, содержащий все ее предельные точки.''

&forall; y  S(y) &amp; &exist; a &exist; b (R(a) &amp; R(b) &amp; (a &le; b) &forall; p (A(p, y) &amp; (a &le; p) &amp; (p &le; b))))

=== Задача 3 ===
''Каков бы ни был отрезок [a,b] действительных чисел, если почти все элементы произвольной последовательности действительных чисел лежат вне этого отрезка, то и все предельные точки этой последовательности лежат вне этого отрезка.''

&phi;1 = (R(a) &amp; R(b) &amp; (a &le; b))
 &phi;2 = &exist; n1 (N(n1) &amp; &forall; n2 (N(n2) &amp; (n2 &ge; n1) &amp; &forall; x1 (E(x1, n2, y) &amp; ((a &gt; x1) &or; (x1 &gt; b))))
 &phi;3 = &forall; p (A(p, y) &amp; ((a &gt; p) &amp; (p &gt; b)))
 
 &forall; a &forall; b &forall; y (S(y) &amp; &phi;1 &amp; &phi;2 &amp; (S(y) &amp; &phi;1 &amp; &phi;2 &rarr; &phi;3))

=== Задача 4 ===
''Какова бы ни была последовательность действительных чисел, если эта последовательность содержит отрицательный элемент, то найдется хотя бы одна неположительная предельная точка этой последовательности.''

&phi;1 = &exist; x &exist; n (R(x) &amp; N(n) &amp; E(x, n, y) &amp; (x &lt; 0))
 &phi;2 = &exist; p (A(p, y) &amp; (p &le; 0))
 
 &forall; y (S(y) &amp; &phi;1 &amp; (S(y) &amp; &phi;1 &rarr; &phi;2))

=== Задача 5 ===
''Каковы бы ни были две последовательности действительных чисел такие, что первая одна из них &rarr; 0, а другая ограничена, тогда из произведение тоже &rarr; 0.''

&phi;1 = &forall; n (N(n) &amp; &exist; x &exist; M (R(M) &amp; R(x) &amp; E(x, n, y) &amp; (x &lt; M)))
 &phi;2 = &exist; y3 (S(y3) &amp; &forall; n (N(n) &exist; x1 &exist; x2 &exist; x3 (E(x1, n, y1) &amp; E(x2, n, y2) &amp; E(x3, n, y3) &amp; (x3 = x1 &times; x2))))
 
 &forall; y1 &forall; y2 (S(y1) &amp; S(y2) &amp; M(0, y1) &amp; &phi;1 &amp; &phi;2 &amp; (S(y1) &amp; S(y2) &amp; M(0, y) &amp; &phi;1 &amp; &phi;2 &rarr; M(0, y3)))

=== Задача 6 ===
''Нет такой сходящейся последовательности, что ее нельзя было бы представить как сумму двух сходящихся последовательностей.''

&phi;1(y) = S(y) &amp; &exist; m (R(m) &amp; (m, y))
 &phi;2(y1, y2, y3) = (S(y3) &amp; &forall; n (N(n) &exist; x1 &exist; x2 &exist; x3 (E(x1, n, y1) &amp; E(x2, n, y2) &amp; E(x3, n, y3) &amp; (x3 = x1 &times; x2))))
 
 &not;(&exist; y (&phi;1(y) &amp; &forall; y1 &forall; y2 (&phi;1(y1) &amp; &phi;1(y2) &amp; &not;&phi;2(y1, y2, y))))

== Табличный вывод ==
=== Правила ===
# <math>L\neg:\frac{<\phi,\Gamma|\Delta>}{<\Gamma|\phi,\Delta>}</math>
# <math>R\neg:\frac{<\Gamma|\neg\phi,\Delta>}{<\phi,\Gamma|\Delta>}</math>
# <math>L\and:\frac{<\phi_1\and\phi_2,\Gamma|\Delta>}{<\phi_1,\phi_2,\Gamma|\Delta>}</math>
# <math>R\and:\frac{<\Gamma|\phi_1\and\phi_2,\Delta>}{<\Gamma|\phi_1,\Delta><\Gamma|\phi_2,\Delta>}</math>
# <math>L\lor:\frac{<\phi_1\lor\phi_2,\Gamma|\Delta>}{<\phi_1,\Gamma|\Delta><\phi_2,\Gamma|\Delta>}</math>
# <math>R\lor:\frac{<\Gamma|\phi_1\lor\phi_2,\Delta>}{<\Gamma|\phi_1,\phi_2,\Delta>}</math>
# <math>L\to:\frac{<\phi_1\to\phi_2,\Gamma|\Delta>}{<\phi_2,\Gamma|\phi_1,\Delta>}</math>
# <math>R\to:\frac{<\Gamma|\phi_1\to\phi_2,\Delta>}{<\phi_1,\Gamma|\phi_2,\Delta>}</math>

==== Дополнительные правила ====
# <math>L\forall:\frac{<\forall x\phi(x),\Gamma|\Delta>}{<\forall x\phi(x),\phi(x)\{^x/_t\},\Gamma|\Delta>}</math>, при условии, что переменная ''x'' свободна в ''&phi;(x)'' для терма ''t''.
# <math>R\forall:\frac{<\Gamma|\forall x\phi(x),\Delta>}{<\Gamma|\phi(x)\{^x/_c\},\Delta>}</math>, где ''c'' — константа, которая не содержитсяв &Gamma;, &Delta; или ''&phi;(x)''
# <math>L\exist:\frac{<\exist x\phi(x),\Gamma|\Delta>}{<\phi(x)\{^x/_c\},\Gamma|\Delta>}</math>, где ''c'' — константа, которая не содержитсяв &Gamma;, &Delta; или ''&phi;(x)''
# <math>R\exist:\frac{<\Gamma|\exist x\phi(x),\Delta>}{<\Gamma|\exist x\phi(x),\phi(x)\{^x/_t\},\Delta>}</math>, при условии, что переменная ''x'' свободна в ''&phi;(x)'' для терма ''t''.

=== Задача 1 ===
С помощью метода семантических таблиц установить, общезначима ли формула:

<math>\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))\to(\exist{y}P(y)\to\forall{x}R(x))</math>

'''Решение.'''

<math>\begin{array}{ccc}
<\empty|\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))\to(\exist{y}P(y)\to\forall{x}R(x))> \\
\darr R\to \\
<\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))|(\exist{y}P(y)\to\forall{x}R(x))> \\
\darr R\to \\
<\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y)),\exist{y}P(y)|\forall{x}R(x)> \\
\darr R\forall \\
<\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y)),\exist{y}P(y)|R(c_1)> \\
\darr L\exist \\
<\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y)),P(c_2)|R(c_1)> \\
\darr L\forall \\
<\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y)),\forall{y}(P(t_1)\to R(y)),P(c_2)|R(c_1)> \\
\darr L\forall \\
<\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y)),\forall{y}(P(t_1)\to R(y)),(P(t_1)\to R(t_2)),P(c_2)|R(c_1)> \\
\darr L\to \\
<\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y)),\forall{y}(P(t_1)\to R(y)),R(t_2),P(c_2)|P(t_1),R(c_1)> \\
\end{array}</math>

Пересечение &Gamma; и &Delta; непусто (при t1 = c2 или t2 = c1). Получили закрытую таблицу, следовательно, формула общезначима.

=== Задача 2 ===
С помощью метода семантических таблиц установить, общезначима ли формула:

<math>(\exist{y}P(y)\to\forall{x}R(x))\to\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))</math>

'''Решение.'''

<math>\begin{array}{ccc}
<\empty|(\exist{y}P(y)\to\forall{x}R(x))\to\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))> \\
\darr R\to \\
<(\exist{y}P(y)\to\forall{x}R(x))|\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))> \\
\darr L\to \\
<\forall{x}R(x)|\exist{y}P(y),\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))> \\
\darr L\to \\
<\forall{x}R(x)|\exist{y}P(y),\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))> \\
\darr L\forall \\
<\forall{x}R(x),R(t_1)|\exist{y}P(y),\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))> \\
\darr R\exist \\
<\forall{x}R(x),R(t_1)|\exist{y}P(y),P(t_2),\forall{x}\forall{y}(P(x)\to R(y))> \\
\darr R\forall \\
<\forall{x}R(x),R(t_1)|\exist{y}P(y),P(t_2),\forall{y}(P(c_1)\to R(y))> \\
\darr R\forall \\
<\forall{x}R(x),R(t_1)|\exist{y}P(y),P(t_2),(P(c_1)\to R(c_2))> \\
\darr R\to \\
<\forall{x}R(x),R(t_1),P(c_1)|\exist{y}P(y),P(t_2),R(c_2)> \\
\end{array}</math>

Пожалуйста, обратите внимание, что все ваши добавления могут быть отредактированы или удалены другими участниками. Если вы не хотите, чтобы кто-либо изменял ваши тексты, не помещайте их сюда.
Вы также подтверждаете, что являетесь автором вносимых дополнений, или скопировали их из источника, допускающего свободное распространение и изменение своего содержимого (см. eSyr's_wiki:Авторское право).
НЕ РАЗМЕЩАЙТЕ БЕЗ РАЗРЕШЕНИЯ ОХРАНЯЕМЫЕ АВТОРСКИМ ПРАВОМ МАТЕРИАЛЫ!

Описание изменений:

Отменить | Справка по редактированию (в новом окне)

Шаблоны, использованные на этой странице: