ВПнМ, примеры задач/Задача 5

Материал из eSyr's wiki.

Текущая версия

[править] Как решать эти задачи?

Для решения этих задач обязательно знать определения, а так же следующие шаблоны.

Полезна также ссылка из шаблонов на то, что означают различные области[1]. Обратите внимание на "между Q и R", т.е. "Between Q and R" и на "после Q до R", т.е. "After Q, until R"

Задачи, по сути делятся на инвариантные к прореживанию и не обязательно инвариантные.

Инвариантная к прореживанию формула - это такая формула, результат вычисления которой не меняется от того, применяется прореживание или нет. Прореживание - это сужение нескольких состояний до одного (а м.б. и расширение одного до нескольких - доподлинно неизвестно).

Будьте готовы к тому, что вам скажут, что в формуле применять слабый until нельзя, поэтому здесь следующие форм-лы экв-ти:

p W q = ([]p) | (p U q)
p W q = <>(!p) -> (p U q)
p W q = p U (q | []p)

[править] Задачи (не инв-ные)

Втаких задачах можно спокойно применять оператор Next (X).

[править] Задача 1

После события 'процесс p находится на метке iter_begin' и до наступления события 'процесс p находится на метке iter_end' верно: сразу за событием 'значение глобальной переменной y равно 5' наступает событие 'значение глобальной переменной x равно 3' (полученное свойство не обязательно может быть инвариантным к прореживанию)

#define a (p@iter_begin)
#define b (p@iter_end)
#define c (y==5)
#define d (x==3)

[](a & !b -> (c & Xd & X !b) W b)

[править] Задача 2

До наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave' верно: событие 'процесс p находится на метке sent' наступает не более одного раза

#define a (state==leave)
#define b (p@sent)

<>a -> ((b -> b & X (!b U a)) U a)

[править] Задача 3

Между событиями 'значение глобальной переменной state равно enter_critical' и 'значение глобальной переменной state равно leave_critical' верно: если наступило событие 'процесс p находится на метке lock', то до него было событие 'значение глобальной переменной state равно locked'

#define a (state==enter_critical)
#define b (state==leave_critical)
#define c (p@lock)
#define d (state==locked)

[]( a -> ((!c U d) U b) ) // Этот вариант не учитывает то, что b не может быть одновременно с a, и то, что b когда-либо наступит

[]( (a & !b & <>b) -> ((!c U d) U b) )

[]( (a & !b & <>b) -> (!c U (d | b)) ) // можно объединить d и b - c не наступит, пока не наступит один из них

[править] Задача 4

После наступления события 'значение глобальной переменной state равно enter_critical' верно: событие 'процесс q находится на метке received' наступает ровно один раз

#define a "state == enter_critical"
#define b Q@received

[]( a -> ( <>b && [](b -> X[]!b) ) )

Если в условие задачи добавить инвариантность к прореживанию, то решение будет выглядеть так:

[]( a -> ( <>b && [](b -> (b U []!b)) ) )

[править] Задача 5

До наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave' верно: событие 'процесс p находится на метке sent' наступает не менее одного раза

#define a "state == leave"
#define b P@sent

!a W (b && !b)

!a U (b && !b) // сильный или слабый Until зависит от прочтения задачи. Возможны оба варианта

UPD: (b && !b) всегда false. Если наступление события означает, что условие стало верным, то ответ

!a W b

Если наступление события означает, что условие побыло истинным, а потом стало ложным, то ответ

!a W (b && X!b)

[править] Задачи (инв-ные)

[править] Задача 1

После события 'процесс p находится на метке iter_begin' и до наступления события 'процесс p находится на метке iter_end' верно: после события 'в канал c отправляется сообщение req' рано или поздно наступит событие 'из канала d принимается сообщение ack'

#define a P@iter_begin
#define b P@iter_end
#define c ...@C_send_req
#define d ...@D_send_ack

[]( a -> ( (c -> (!b U d)) U b) )

[]( (a & !b & <>b) -> ( (c -> (!b U d)) U b) ) // добавили то, что a и b не могут быть одновременно и то, что b когда-либо наступит

[]( (a & !b & <>b) -> ( (c -> (!b U (d & !b))) U b) ) // добавили то, что b не происходит одновременно с d. Окончательный вариант.

Teravisor: Все три три не верны потому, что формулировка "после ... до ..." подразумевает, что второе событие может не произойти. Моя версия(шаблон S responds to P After Q until R, раскрытие W): [](a && !b -> ( ((p -> (!b U (q && !b ))) U b) || ([](p -> (!b U (q && !b ))) )

[править] Задача 2

После события a и до наступления события b событие c наступает не более одного раза. (полученное свойство должно быть инвариантным к прореживанию)

[]( a -> ((c -> c U (!c U b)) U b) )

[]( (a & !b & <>b) -> ((c -> c U (!c U b)) U b) ) // добавили то, что a и b не происходят одновременно и то, что b когда-либо произойдет.

Teravisor: Та же самая ошибка, что и в задаче 1. Мой вариант(Заменить в 2й формуле последний U на W и раскрыть с небольшой правкой условия !c U b):

[]( a && !b -> ( ((c -> c U (!c U b)) U b) || [](c -> c U ([](!c && !b))) ) )

[править] Задача 3

В одной итерации вычисления между метками Start и End операция R всегда предшествует (не обязательно непосредственно) выполнению операции S (полученное свойство должно быть инвариантным к прореживанию).

#define a Start
#define b End
#define c R
#define d S

[](a -> ( (!d U c) U b ))

[]( (a & !b & <>b) -> ( (!d U c) U b) ) // добавили то, что a и b не происходят одновременно и то, что b когда-либо произойдет

[]( (a & !b & <>b) -> ( !d U (c | b)) ) // можно и так

[править] Задача 4

В ходе итерации, начинающейся меткой START и заканчивающейся меткой END, выполнение оператора x==1 всегда влечет за собой приём сообщения, помеченного меткой S.

#define a START
#define b END
#define c x==1
#define d S

[](a -> ( (c -> (!b U d)) U b)

[]( (a & !b & <>b) -> ( (c -> (!b U d)) U b) // добавили то, что a и b не происходят одновременно и что b когда-либо произойдет

[]( (a & !b & <>b) -> ( (c -> (!b U (d & !b))) U b) // добавили то, что b и d не происходят одновременно. Окончательный вариант.

[править] Задача 5

Между событиями 'процесс p находится на метке iter_begin' и 'процесс p находится на метке iter_end' верно: если наступило событие 'в канал c отправляется сообщение req', то до него было событие 'из канала d принимается сообщение ack'

#define a p@iter_begin
#define b p@iter_end
#define c c!req
#define d d?ack

[](a -> ( (!c U d) U b))

[]( (a & !b & <>b) -> ((!c U d) U b) ) // Добавили то, что a и b не происходят одновременно и то, что b когда-либо произойдет.

[]( (a & !b & <>b) -> (!c U (d | b)) ) // можно и так

[править] Задача 6

Между событиями 'значение глобальной переменной state равно enter' и 'значение глобальной переменной state равно leave' верно: после события 'в канал c отправляется сообщение req' рано или поздно наступит событие 'из канала d принимается сообщение ack'

#define a (state == enter)
#define b (state == leave)
#define c (с!req)
#define d (в?ack)

[](a -> (c -> ((!b U d) U b))

[]( (a & !b & <>b) -> (c -> (!b U (d & !b))) U b) ) // Добавили то, что a и b не могут происходить одновременно и аналогично d и b. Окончательный вариант.

[править] Задача 7

До наступления события 'процесс p находится на метке iter_end' верно: после события 'значение глобальной переменной x равно 3' рано или поздно наступит событие 'значение глобальной переменной y равно 5'

#define a p@iter_end
#define b x == 3
#define c y == 5

(b -> (!a U c)) U a

<>a ->( (b -> (!a U (c & !a))) U a ) // Добавили то, что a когда-либо произойдет, и то, что c и a не происходят одновременно. Окончательный вариант.

(!a U b) -> (!a U c) // Потомкам: доказать что эта формула верна или нет:)

Teravisor: Потомки доказывают: третья не верная. Мы смотрим обе импликации(->) из начальной точки, т.е. нам подойдет

!a !a !a !a !a !a a

!b !b !b !b !b b b

!c c c c c c c

!a U c выполняется. => формула true, хотя условию не удовлетворяет. Если поставить [] перед всей формулой правильность не изменится. Кто хочет может сам доказать.

[править] Задача 8

После наступления события 'значение глобальной переменной state равно enter_critical' верно: всегда выполняется 'процесс p находится на метке unlock'

#define a (state == enter_critical)
#define b p@unlock

[](a -> []b)

[править] Задача 9

До наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave_critical' верно: всегда выполняется 'значение глобальной переменной x равно 3'

#define a (state == leave_critical)
#define b (x == 3)

(b W a) // []b || (b U a) - Тоже самое, но через сильный Until.

(b U a) // Можно так.

<>a -> (b U a) // Или так.

Потомкам: понять разницу:)

Teravisor: потомки говорят, между 2 и 3 формулами разницы нету. Объяснение: U требует выполнимости где-то второго аргумента, в данном случае "a", в случае если его нет, формула не выполняется. требование <>a-> может быть расценено лектором как избыточное, и вообщем то не хорошо. Вообще говоря вроде первая формула правильная, в отличие от последних двух, но и правильность последних можно доказать из утверждения "я так понял задание".

[править] Задача 10

После события 'значение глобальной переменной state равно enter_critical' и до наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave_critical' верно: после события 'процесс p находится на метке sent' рано или поздно наступит событие 'процесс q находится на метке received'

#define a (state == enter_critical)
#define b (state == leave_critical)
#define c p@sent
#define d q@received

[]( (a & !b & <>b) -> ((c -> (!b U d)) U b) ) // Здесь U b можно заменить на W b (зависит от прочтения задачи)

Teravisor: то, же что и в задании 1. Комментарий это не можно, а нужно. И заменой U b на W b не всё исправится - надо еще <>b убрать вначале.

[править] Задача 11

До наступления события 'процесс p находится на метке iter_end' верно: событие 'значение глобальной переменной x равно 3' наступает не менее одного раза

#define a (p@iter_end)
#define b (x == 3)

!a W (b && !a) // В принципе, тут можно сильный Until поставить.

([]!a) || (!a U (b && !a)) // Расписан слабый Until

[править] Задача 12

Между событиями 'значение глобальной переменной state равно enter' и 'значение глобальной переменной state равно leave' верно: событие 'значение глобальной переменной x равно 3' наступает не менее одного раза

#define a (state == enter)
#define b (state == leave)
#define c (x == 3)

[]( a -> (!b U c) ) // "Простой" вариант.

[]( (a && !b && <>b) -> (!b U (c && !b)) ) // Окончательный.

[править] Задача 13

До наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave' верно: всегда выполняется 'в канал c отправляется сообщение req'

#define a (state == leave)
#define b (channel ! req)

b W a

[]b || (b U a) // Расписан Weak.

[править] Вариант 110

[править] Задача 1

Между событиями 'процесс p находится на метке iter_begin' и 'процесс p находится на метке iter_end' верно: событие 'процесс p находится на метке lock' наступает не менее одного раза

#define a p@iter_begin
#define b p@iter_end
#define c p@lock

[](a -> !b U c)

[]( (a & !b && <>b) -> (!b U (c & !b)) ) // Окончательный вариант.

[править] Задача 2

Между событиями 'значение глобальной переменной state равно enter' и 'значение глобальной переменной state равно leave' верно: всегда выполняется 'процесс p находится на метке lock'

#define a state==enter
#define b state==leave
#define c p@lock

[](a -> (c U b))

[]( (a && !b && <>b) -> (c U b) )

[править] Задача 3

После наступления события 'значение глобальной переменной state равно enter' верно: событие 'значение глобальной переменной x равно 3' наступает не менее одного раза

#define a state==enter
#define b x==3

[](a -> <>b)

[](!a) | <>(a & <>b)) // Потомкам: проверить правильность.

[править] Вариант 104

[править] Задача 1

После события 'процесс p находится на метке iter_begin' и до наступления события 'процесс p находится на метке iter_end' верно: событие 'из канала d принимается сообщение ack' наступает ровно один раз

#define a p@iter_begin
#define b p@iter_end
#define c d?ack
[] (  a -> ( <>b -> (!b&!c) U (c & !b U (!c & b) )   ||   []!b -> (!c U (c U !c)) )     )

al-indigo:

Фиг знает, что тут происходит, но мне кажется, что правильно будет так:
[](( a & !b & <>b ) -> (!b U (c -> [](!c))))

Авварон:

без Х не решается => все что сверху - туфта
с Х:
#define A p@iter_begin
#define B p@iter_end
#define C d?ack
[]( A -> (C -> X (!C U B)) ) // туплю - не надо ли 2ю импликацию сделать также U B ? вроде нет

[править] Задача 2

Между событиями 'значение глобальной переменной state равно enter' и 'значение глобальной переменной state равно leave' верно: событие 'процесс p находится на метке unlock' наступает не менее одного раза

#define d (state==enter)
#define e (state==leave)
#define f p@unlock
[] ( (d & (<>e) ) -> (!e U f) )

al-indigo:

Пропущено, что d и e не совпадают:
[] ( (d & (<>e) & !e ) -> (!e U f) )

Авварон:

#define A (state==enter)
#define B (state==leave)
#define C p@unlock
короткая: [](A -> (!B U C))
длинная: []( (A & !B & <>B) -> (!B U C) )

[править] Задача 3

После наступления события 'значение глобальной переменной state равно enter_critical' верно: никогда не выполняется 'значение глобальной переменной state равно unlocked'

#define g (state==enter_critical)
#define h (state==unlocked)
[] ([]!g || (g -> []!h))

al-indigo:

ok?

Авварон:

Похоже на правду, но я бы писал так (используя шаблон из 8й лекции на стр 56):
#define A (state==enter_critical)
#define B (state==unlocked)
[](A -> []!B)
По идее будет то же самое после преобразований

[править] Вариант 32

[править] Задача 1

До наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave_critical' верно: событие 'значение глобальной переменной x равно 3' наступает не более одного раза

1. define S state == state_critical
2. define P x = 3

((!P U (S || (P U (S || (!P U S))))) || ([] !S && ( [] ! P) || [] P || P U ([] ! P) || !P U ( P U ([] !P)) )

(Источник: практикум, задание 4, вариант 32, сдано Коннову)

al-indigo:

По-моему, как-то уж очень избыточно
[]((P & !S & <>S) -> (!P U S))

[]((P & !S & <>S) -> (P U (!P U S)))         ( поправил al-indigo: P->!P - всегда false)

Авварон:

#define A state == state_critical
#define B x = 3
[](B -> B U !B U A)
вроде так, проверьте)

[править] Задача 2

До наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave_critical' верно: событие 'процесс p находится на метке lock' наступает не менее одного раза

1. define S state = leave_critical
2. define P p@lock

([]!S) || (!S U (P && !S))

(Источник: практикум, задание 4, вариант 32, сдано Коннову)

al-indigo:

ок?

Авварон:

ага, но я бы писал так:
#define A state = leave_critical
#define B p@lock
через Weak, простая: !A W B
через Weak, сложная: !A W (B & !A)
через Until, сложная: []!A || (!A U (B & !A))
Эти 3 ф-лы эквивалентны, но W имхо читать проще

[править] Задача 3

До наступления события 'значение глобальной переменной state равно leave_critical' верно: если наступило событие 'в канал c отправляется сообщение req', то до него было событие 'из канала d принимается сообщение ack'

1. define A state == leave_critical
2. define B c@req
3. define C d@ack

((! B U A ) || ((!A && !B) U (C && (! A U B )))) || ( [] !B) || (!B U C)

(Источник: практикум, задание 4, вариант 32, сдано Коннову)

al-indigo:

<>A -> (!B U (C | A))

Авварон:

согласен
малый фикс:
<>A -> (!B U C U A) 
в этом варианте проще добавить неодновременность, если преподу припрет изменить условие. Да, и <>A зависит от прочтения, тоже можно опустить (не факт что оно будет)

[править] Вариант 29

[править] Задача 1

До наступления события 'процесс p находится на метке iter_end' верно: сразу за событием 'значение глобальной переменной state равно unlocked'наступает событие 'процесс p находится на метке unlock' (полученное свойство не обязательно может быть инвариантным к прореживанию)

1. define p_iter_end (p@iter_end)
2. define p_iter_unlock (p@iter_unlock)
3. define state (state=unlocked)

[](((state->X p_iter_unlocked) U p_iter_end))

al-indigo:

кажется, так
[](!p_iter_end U (p_iter_unlock -> X state))

Авварон:

al-indigo у тебя условие слабее - хотя бы 1 раз будет выполнено условие (а это не имелось ввиду, поэтому так). Можно перефразировать "за каким-то B будет С" (но не за всеми!)
#define A (p@iter_end)
#define B (p@iter_unlock)
#define C (state=unlocked)
(B -> X C) U A

[править] Задача 2

Между событиями 'процесс p находится на метке iter_begin' и 'процесс p находится на метке iter_end' верно:событие 'в канал c отправляется сообщение req' наступает не более одного раза

1. define p_iter_begin(p@iter_begin)
2. define p_iter_end((p@iter_end)
3. define c_S ...@C_send_req

[](p_iter_begin -> !p_iter_end || (!p_iter_end U (c_S U (!c_S U p_iter_end ))))

al-indigo:

[]((p_iter_begin & !p_iter_end & <>p_iter_end) -> (req -> (![]req U p_iter_end)))

[]((p_iter_begin & !p_iter_end & <>p_iter_end) -> (req -> (req U (!req U p_iter_end)))) (поправил al-indigo)

Авварон:

о5 задача не решается без X
#define A (p@iter_begin)
#define B ((p@iter_end)
#define C ...@C_send_req
[]( A -> { (C -> X[!C U B]) U B } )

[править] Задача 3

Между событиями 'процесс p находится на метке iter_begin' и 'процесс p находится на метке iter_end' верно:всегда выполняется 'процесс p находится на метке lock'

1. define p_iter_begin(p@iter_begin)
2. define p_iter_end((p@iter_end)
3. define p_lock(p@lock)

[](p_iter_begin & !p_iter_end & <>p_iter_end)->(p_lock U p_iter_end)

Сдавал не Коннову

al-indigo:

может быть избыточно, но должно быть правильно
[]((p_iter_begin & !p_iter_end & <>p_iter_end)->([]p_lock U p_iter_end))

Авварон:

#define A (p@iter_begin)
#define B ((p@iter_end)
#define C (p@lock)
простая: [](A -> (C U B))
сложная: []( (A & !B & <>B) -> (C U B) )