ОКФиКВ, 03 лекция (от 27 февраля)

Материал из eSyr's wiki.

Диктофонная запись второй части лекции: http://esyr.org/lections/audio/quantphys_2008_summer/QP_08_02_27.ogg Лекция 3.

Темы

Финитные и инфинитные движения. Дискретные и непрерывные энергетические спектры. Движение частицы в одномерной потенциальной яме. Дискретность энергетических спектров. Приближение двухуровневой системы. Эффект тунелирования через барьер. Движение в периодическом потенциальном поле.

Если движение совершается без граничных условия (т.е. от $-\infty$ до $+\infty$ ) то движение называется инфинитным. Если движение происходит в ограниченной области, то движение финитно.

Примеры:

Свободное движение.

Потенциальная энергия $U = c o n s t$ . Положим $U = 0$ .

$H=\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}$

Уравнение Шредингера:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2\Psi}{\partial x^2}=E\Psi$ (это частный случай уравнения Шреднигера!)

$\Psi_k=C_ke^{ikx},\,E_k=\frac{\hbar^2k^2}{2m}$

$p_k = \langle p\rangle = \int\Psi^*_k(x)\left(-i\hbar\frac{\partial}{\partial x}\right)\Psi_k(x)dx=\hbar k$

$\frac{1}{\hbar}\frac{\partial E_k}{\partial k}=\frac{\hbar k}{m} = \frac{p_k}{m} = v_k$ Эта формула верна и в общем случае (без доказательства).

В прямоугольной потенциальной яме

(см. картинку на первой фотографии доски)

Впервые мы сталкиваемся со случаем финитного движения.

При $U_0 = const < +\infty$ получаем сложную математическую задачу. Мы будем рассматривать случай $U_0 = +\infty$ .

$F=\frac{\partial U}{\partial x} = +\infty$ Слева и справа действуют бесконечные силы, не выпускающие частицу из ямы.

Мы должны поставить математические условия к тому, что частица не проникает сквозь стенки ямы. $Ψ( - a / 2) = Ψ(a / 2) = 0$ . Посмотрим, какой спектр получается в этом случае. Теперь мы должны решать уравнение Шредингера. У нас здесь три области. Когда решается задача с конечной глубиной, трудность в решении для каждой области, а потом сшивать их. Тут проще потому, что в области 1 и 3 ... равно 0. А в области 2 случай ничем не отличается от свободного движения чатицы. В области 1 и 3 волновая функция 0, а в области 2 это $Ce^{\pm ikx}$ . Тогда получается вот какая картина: надо брать суперпозицию этих функций. Частным решением является каждая из функций, общим решением является супрерпозиция функций:

$\Psi_k^+=C\left(e^{ikx}+e^{-ikx}\right)=A\cos{kx}$ (решение должно быть действительным)

Но есть ещё одно решение:

$\Psi_k^-=C\left(e^{ikx}-e^{-ikx}\right)=B\sin{kx}$

Чему равняется k? Лектор ещё раз запишет уравнение Шредингера в области 2, и теперь он просто подставляет $C e i k x$ .

$\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}Ce^{ikx}=Ee^{ikx}C$

k зависит от энергии. Если энергия задана, то $k = \sqrt{\frac{2mE}{\hbar^2}}$ . $\Psi^+(-\frac{a}{2})=\Psi^+(+\frac{a}{2})=0$ Граничные условия у нас 0, значит, cos обращается в 0 здесь, здесь, и $\frac{k_na}{2}=\frac{\pi}{2}n,\,n=1,3,5,\dots$ . Соответственно, cos обращается в 0 в дискретных точках. То есть, мы получаем квантование вектор k в результате граничных условий. Не все значения удовл граничным условиям, отсюда и получается квантование. Каждому этому значению k соответствует энергия, получаем квантованный спектр энергий, в данном случае дискретный квантованный спектр энергий.

$E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m}$

Чтобы сделать заключение, исследуем второй случай.

$\Psi^-(-\frac{a}{2})=\Psi^-(+\frac{a}{2})=0$

Ставим граничное условие: равенство 0 на границе опять же приводит к квантованию вектора k:

$\frac{k_na}{2}=\frac{\pi}{2}n,\,n=2,4,6,\dots$

Теперь мы можем резюмировать наши результаты. Наличие граничных условий приводит к дискретному энергетическому спектру и дискретному набору волновых функций. Лектор их выпишет:

$\Psi^-_n(x)=B\sin{k_nx},\,E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m},\,n=2,4,6,\dots$

$\Psi^+_n(x)=B\cos{k_nx},\,E_n=\frac{\hbar^2k_n^2}{2m},\,n=1,3,5,\dots$

Вот результат математических исследований --- решения уравнения Шредингера. Каки реузльтаты получаем: интересный эффект --- квантовый параллелизм. Он является следвтвием принципа суперпозиции. В обычной механике шар может лететь либо вперёд, либо назад. А в квантовой механике мы имеем решение: ... --- две волны, напр. противоположно друг другу. Но мы же стационарное решение нашли. А если подставить общее? Какой вид будет иметь полное решение тогда?

$\Psi^+_k(x,t)=\left(e^{ikx}+e^{-ikx}\right)e^{-\frac{iE_k}{\hbar}t}$

Тогда ясно, что эти 2 волны распространяются в разных нправлениях. Фиксируете фазу, ддиф. по t, и получаете: ... . Мы впервые столкнулись с квантовым параллелизмом, в котором частица обл. обпр. импульсом. Это суперпозиц. сост. Характеристики суперпозиц. сост. неопределены. Нарисуем график: просто косирнус, $n = 2$ , первое возбужденное состояние, это нечетная функция. И, соответственно, уровни энергии: .... . И дальше, по мере возрастания n, дальше мы получаем, что уровни расходятся, $E n ˜ n 2$ , следовательно, расстояние пропорционлаьно n. Что главное: энергетический спектр при наличии граничных условий становится дискретным. В квантовой механике получаем дискретные состояния, и благодаря этому возм. квантовые вычисл. Интуиция подсказывате, что чтобы реализ бит, нужна система с двумя состояниями. Если оставим два уровня, то это и есть кубит. Но есть отличие: он может находиться в суперпозиционном состоянии, давая экспоненциально большой выигрыш, и преимущества квантового компьютинга сидят в самой квантовой механике. В классической механике непрерывный энергетический спектр. А где появляются обертона? Скрипач изменяет длину волны, изменяется звучания. Изменяются граничные условия. Граничные условия приводят к квантованию. k квантовано, может принимать разрешенные значения, и каждому значению k соответствует свой уровень энергии $E n$ . Дискретный энергетический спектр. Будет ещё один --- зонный спектр.

Теперь качественно обсудим те изменения, которые произойдут в случае реальной ямы. У нас есть аппарат, и даже не решая, мы можем сделать выводы. С чего начинаем: с записи гамильтониана. В области 2 ничего не меняется, уравнение Ш. такое же. А теперь в области 3: в обл. 3 нужно учесть $U 0$ , и получаем:

$-\frac{\hbar^2}{2m}\frac{\partial^2}{\partial x^2}\Psi_{III}=-\left(U_0-E\right)\Psi_{III}$

Теперь, какое соотношение между $U 0$ и $E$ ? Нас будет интересовать связанное движение, и каждый ответит, что $E < U 0$ ? Чтобы движение было связным

$\Psi_{III}\sim \exp{\left\{\pm\sqrt{\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^2}}x\right\}}$

Это означает, что у нас есть две возможности, два решения. Какое выбрать из этих двух решений? Ясно, что убывающее, возрастающее не удовлетворяет условиям нормировки. Обсудим физический смысл. ... Это область, в которой полная энергия меньше, чем мпотенциальная. Внутри ямы, наоборот: ... . Но вне ямы

E < U 0

. Это невозможно в классической физике.

Поскольку к полной энергии добавляется положительно определенная форма. Эта область называется классически недоступная область. Квантовая частица может проникать в классич. недоступную область. Это качественный вывод. Какое следствие отсюда: несколько видоизменённых задач. Летит частица, волна слева направо. И вот частица попадает вот в эту область, а это энергия частицы,

E < U 0

. В некотором смылсе это аналог классической задачи: катится шарик со скоростью v, масса m, высота h. вопрос, что произойдёт? Как решать в классическом случае, понятно: сравнить кинетическую и потенциальную энергию. В квантовом случае оказывается, что частица с определенной вероятностью проходит через этот барьер (туннелирует), и с определённой вероятностью отражается. Мы не найдём точно туннелирование, мы найдём экспоненциальный фактор.

$\left|\Psi(a)\right|^2\sim \exp{\left\{-2\sqrt{\frac{2m(U_0-E)}{\hbar^2}}\right\}}$

Это и будет вероятность просачивания/прохождения/туннелирования. Эффект туннелирования очень часто встречается в физике. При распаде идёт эффект туннелирования. Мы дома сталкиваемся с эффектом туннелирования. Например, если мы имеем контакт двух окисленных проводов. Электроны встречают слой диелектрика, и туннелируют. При этом возрастает сопротивление. Это простейший пример эффекта туннелирования.

Осталось полчаса, и лектор хотел бы перейти к движению частицы в периодическом потенциале, но сначала лектор устроит проверочку.

Очень интересный и важный тип движкения. Предыдущий тип движения тоже очень важный тип, как пример --- движение электрона в атоме, там кулоновская яма. Тут жен примером является движение электрона в кристалле.

Ничего нового в подходе не езобретаем и изобрести не можем, действуем по схеме. КМ --- набор рецептов. Вот мы решили уравн Ш., и говорим, волна бежит сюда, волна бежит сюда, берём суперпозицию. Но где масса электрона? На этот вопрос КМ не отвечает, в первом постулате говорится. Это не вопрос КМ, КМ его отметает. Ни наа что другое КМ не претендует. Это от\дна из причин, по которой многие не удовлетворены КМ.

Ставим задачу. Есть у нас кристалл --- периодическое чередование атомов. Вообще, там трёхмерное движение, но мы рассм. одномер. движение. Получается такой одномерный кристалл. Ионы в кристалле создают периодический потенциал u(x). Главное что --- при приближении электрона к ядру его потенциал уменьшается. Важным оказывается только одно обстоятельство: периодичность движения. И мы отражаем эту периодичность такой формулой: ... . Эта функция, которая вляется периодической, может быть разложена в ряд Фурье таким образом ... . Вот всё, что мы можем. А, мы ещё можем записать гамильтониан: ... . Это довольно сложная задача. Но в общем виде можно получить качественное решение. Как мы будем рассуждать? Представьте: кристалл, периодическая структура, влетает в кристалл волна. Что будет происходить с волной, когда она входит в период. структуру. Тот, кто изучал волну, скажет, что происходит дифракция, рождаются дифрагированные волны. Вот это и будет волновое поле электрона в кристалле. Построим волновой пакет --- сумму волн. Теперь у нас есть решение: ... . Леткор просто подставил разложение потенциала в уравнение. Отсаётся вопрос, что такое ek' --- это энергия возмущённого электроном кристалла (?). Теперь преобразуем его следующим образом --- умножим на e^-ikx и проинтегрируем. ЛЕктор запишет результат: ... . Что же отсюда следует: если мы запускаем волну, то в результате дифракции появляются дифрагированные волны, сдвинутые на некоторую обратную решётку. Это означает, что в этом пакете не будет никаких волн кроме исходных волн и сдвинутых. Только такие волны должны фигурировать в пакете. Давайте запишем этот волновой пакет. ... . Это и есть решение ур. Ш. Конечно, мы его не решили, мы предугадали форму. Но так оно и есть. Придадим ему канонический вид. ... Это и есть решение решение ур. Ш. Это волна, аплитуда которой промодулирована. Какими свойствами она обладает: